समाकलन int_{0}^{1} x cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$.गुणधर्म $\cot^{-1}(u) = 	an^{-1}(\frac{1}{u})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \

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$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2$

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(A) माना $I = \int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$.गुणधर्म $\cot^{-1}(u) = 	an^{-1}(\frac{1}{u})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_{0}^{1} x 	an^{-1}\left(\frac{1}{1 - x^2 + x^4}ight) dx$.हम तर्क को $\frac{x^2 - (x^2 - 1)}{1 + x^2(x^2 - 1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,$I = \int_{0}^{1} x \left[ 	an^{-1}(x^2) - 	an^{-1}(x^2 - 1) ight] dx$.माना $x^2 = t$,तो $2x dx = dt$,इसलिए $x dx = \frac{1}{2} dt$.जब $x=0, t=0$ और जब $x=1, t=1$.$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t - 1) dt$.दूसरे समाकलन पर $\int_{0}^{a} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(a - t) dt$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(1 - t - 1) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(-t) dt$.चूंकि $	an^{-1}(-t) = -	an^{-1}(t)$:$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt = \int_{0}^{1} 	an^{-1}(t) dt$.खंडशः समाकलन करने पर: $\int 	an^{-1}(t) dt = t 	an^{-1}(t) - \int \frac{t}{1+t^2} dt = t 	an^{-1}(t) - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)$.$0$ से $1$ तक मान ज्ञात करने पर:$I = [1 \cdot 	an^{-1}(1) - \frac{1}{2} \ln(2)] - [0 - 0] = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$.

समाकलन $\int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$ का मान क्या है?

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$\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x$ का मान है

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समाकलन $\int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} = $

मान लीजिए $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $J > \frac{1}{4}$
$II$. $J < \frac{\pi}{8}$
तो,

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